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Formule e forme
Redazione  

 

Nella matematica moderna i frattali sono oggetti complessi la cui generazione si basa su semplici formule. Alcuni hanno trovato anche delle forme biologiche che sembrano avere degli aspetti frattali. Di fronte alle sorprendenti forme geometriche dei frattali uno potrebbe ragionare all'incirca in questo modo: come la complessità delle geometrie frattali deriva da semplici formule, analogamente la complessità biologica frattale potrebbe essere derivata dalla semplicità e di conseguenza il disegno intelligente non è necessario per spiegarla. Che questa speranza sia immotivata è quello che spiegheremo qui.

 

James Gleick nel suo libro "Chaos" scrive:

 

"Come fa la natura a sviluppare una [bio]-architettura così complessa? La tesi di Mandelbrot è che le complicazioni esistono solo nel contesto della geometria Euclidea tradizionale. Come nei frattali, le [bio]-strutture possono essere descritte con semplicità, con pochi bit di informazione. Forse le semplici trasformazioni che danno origine alle forme inventate da Koch, Peano, Sierpinski hanno le loro analoghe nelle istruzioni codificate nei geni degli organismi. Senza dubbio il DNA non basta a specificare [analiticamente, in dettaglio] il grande numero dei bronchi, bronchioli ed alveoli o la particolare struttura spaziale dell'albero risultante, ma esso può specificare un processo ripetitivo di biforcazione e sviluppo".

 

Sebbene nella citazione ci sia qualche verità pensiamo che essa contenga implicitamente anche un grosso equivoco che merita di essere analizzato qui, e per farlo forse un breve "excursus" filosofico/scientifico potrebbe essere illuminante.

 

Il concetto generale che da una "formula" può derivare una "forma" è notevole di per se e non è affatto nuovo. Le parole stesse sono intimamente in relazione perché condividono il prefisso "form", che ha una grande valenza cosmologica (questo è vero anche in altre lingue: francese = "formules et formes"; tedesco = "Formeln und Formen"; spagnolo e portoghese = "formulas et formas"; inglese = "formulas and forms"). Le formule sono in relazione ai numeri mentre le forme sono in relazione alle geometrie. Nella storia del pensiero occidentale le prime sono più connesse al Pitagorismo e le seconde più al Platonismo. Cosa piuttosto significativa entrambi questi inquadramenti filosofici usavano concetti matematici per simbolizzare realtà superiori. Come tali essi erano ortodossi e in accordo alla concezione tradizionale delle scienze, che considerava i concetti matematici principalmente come supporti razionali indiretti o simboli per ottenere l'intuizione diretta di principi sovra-razionali universali, e solo secondariamente come strumenti per investigare la natura e risolvere problemi pratici.

 

Il Pitagorismo considerava i numeri, in quanto entità quantitative e sostanziali, in grado di simbolizzare - per analogia inversa - i principi più qualitativi ed essenziali. Il Platonismo considerava le forme geometriche, che in un certo senso sono una specie di "vestito" dei numeri, come modelli cosmologici e simboli di realtà metafisiche. Le formule e le forme, nel senso più esteso in cui lo intendiamo qui, sono generalizzazioni rispettivamente dei numeri e delle geometrie e come tali erano potenzialmente nel pensiero di Pitagora e Platone. Diciamo "potenzialmente" perché entrambi questi filosofi/scienziati non hanno potuto ovviamente vedere lo sviluppo rigoglioso che hanno avuto la matematica e la fisica, da loro fino a noi. Ma sicuramente non si stupirebbero più di tanto in quanto ne avevano colto i principi o radici reconditi.

 

Nella storia della matematica l'algebra si sviluppò come estensione dell'aritmetica e la cosiddetta geometria analitica fu sviluppata come ponte tra l'algebra e la geometria esattamente secondo il paradigma forma-da-una-formula di cui veniamo dicendo. La geometria analitica fornisce un modo per visualizzare in qualche modo le formule algebriche e le loro potenzialità interne. Eccone un esempio molto semplice: nella geometria analitica l'equazione quadratica x^2 + y^2 = 1 visualizza un cerchio di raggio 1 centrato nell'origine (0, 0) degli assi cartesiani, quando variamo i valori delle variabili x e y. In un certo senso possiamo dire che, nello scenario concettuale della geometria analitica, quella formula contiene implicitamente il cerchio e dualmente il cerchio manifesta esplicitamente la formula.

 

Dato che abbiamo citato Pitagora e Platone e siccome non vogliamo sembrare di escludere un altro "pilastro" filosofico del pensiero occidentale - Aristotele - suggeriamo che la formula è come un "motore immobile" o "archetipo fisso" rispetto a tutta la variabilità o a tutto il divenire che essa potenzialmente contiene, dato che il centro è il principio di tutti i punti del cerchio, che irradia da esso per mezzo dei raggi. In una formula in grado di generare forme, le variabili simboliche (x, y, z, ...) rappresentano una specie di segnaposti fissi per intere gamme di variabilità o insiemi di infiniti valori. In altre parole, una formula serve per fissare sinteticamente cosa è variabile e di contro una forma serve per esprimere analiticamente nella variazione cosa è fisso. Potremmo dire che, parlando per analogia, le formule sono relativamente "metafisiche" rispetto alle forme, che sono fisiche. En passant, proprio sulla fondamentale distinzione tra entità fisse e variabili è basata tutta la rigorosità del calcolo infinitesimale (vedi "Les Principes du calcul infinitésimal" di René Guénon).

 

I frattali sono implementazioni ancora più complesse del suddetto paradigma "forma-da-una-formula" perché le loro geometrie sono generate da particolari algoritmi, dove in una formula base si variano iterativamente e in modi specifici alcuni parametri contenuti in essa.

 

Nei frattali (molto più ancora del semplice esempio del cerchio di cui sopra) abbiamo che una formula relativamente semplice può dare luogo a figure di notevole complessità. Comunque, dato l'enorme numero dei calcoli necessari per disegnare tali immagini, i frattali potettero essere scoperti e studiati (principalmente da Benoit Mandelbrot negli anni '70) solo dopo l'avvento dell'era dei computer. Mandelbrot studiò anche i frattali che comportano almeno parzialmente il caso, la qual cosa causa irregolarità dentro le loro geometrie. Dato che in quei frattali abbiamo sia determinismo che fluttuazioni statistiche essi sono appropriati a descrivere alcuni fenomeni della natura, ove sia il caso che la necessità operano.

 

Una delle proprietà di molti frattali è chiamata "auto-similarità" o "auto-somiglianza": esaminando queste figure a differenti scale di ingrandimento esse esibiscono configurazioni o strutture simili. Questa proprietà è anche chiamata "invarianza di scala": le strutture appaiono simili ai vari livelli di scala da cui li esploriamo. L'analisi potrebbe andare avanti indefinitamente e troveremmo sempre strutture simili.

 

Un'altra proprietà che alcuni frattali hanno è che la complessità della struttura non decresce quando l'ingrandiamo: il frattale esibisce sempre dettagli egualmente complessi indipendentemente dal fattore di ingrandimento. In altre parole essi mostrano indefinitamente strutture finemente dettagliate. Questa non è affatto una proprietà generale delle figure. Per esempio una pagina di una libro non ha tale proprietà. Quando la esaminiamo a livello macroscopico con gli occhi vediamo centinaia di caratteri a stampa, che comportano una data complessità (nei termini di contenuto informativo abbiamo che una pagina contenente x caratteri ha x byte di informazione). Quando la esaminiamo con una lente centrata su un singolo carattere la complessità diminuisce (abbiamo solo più un informazione di un byte = 8 bit). Se esaminiamo ulteriormente tale carattere su un bordo con un microscopio vediamo mezzo nero e mezzo bianco (informazione = 2 bit). Se ingrandiamo ancora vediamo addirittura o tutto bianco o tutto nero (informazione = 1 bit). In definitiva la complessità e l'informazione sono ancora diminuite. Per concludere una pagina scritta a stampa non ha invarianza di scala, come hanno molti frattali.

 

Alcune strutture biologiche mostrano chiaramente configurazioni frattali. Un albero è una tipica struttura frattale: il tronco si divide in molti rami, a sua volta ogni ramo si divide in rametti e così via iterativamente si arriva alle foglie. Le foglie a loro volta mostrano configurazioni frattali: le loro nervature ad albero ripetono ad una scala più piccola le ramificazioni dell'albero stesso. Un particolare frattale è chiamato "felce" perché somiglia incredibilmente ad una felce reale. Si veda la seguente figura:

 

Negli organismi superiori l'albero bronchiale dei polmoni e il sistema circolatorio hanno una configurazione frattale. La struttura frattale di alcuni organi permette di condensare una grande superficie in un minimo volume. La capacità respiratoria è proporzionale alla superficie dei polmoni. L'area della superficie polmonare dell'uomo è più grande di un campo da tennis. Similmente la struttura frattale del circolo sanguigno permette ai capillari di raggiungere ogni porzione volumetrica del corpo. Quindi è una buona soluzione tecnica per risolvere il problema fondamentale della circolazione del sangue, che è quello di alimentare tutti i tessuti. (Circa le relazioni tra lunghezza, area e volume in quest'ordine di problemi fisiologici vedi "The fractal geometry of nature", cap. IV, di Mandelbrot.)

 

La cosa importante da ritenere è che se un sistema è frattale non significa che non è disegnato. Proprio l'opposto, il progetto di queste strutture frattali biologiche e i loro parametri deve esse accurato e tarato opportunamente. (Sulle applicazioni biologiche dei frattali e la comparazione tra la loro teoria matematica e la realtà biologica vedi ibidem cap. V).

 

A questo punto uno può chiedere: dati tali esempi biologici spettacolari dei frattali (il cui nucleo è una semplice formula) perché è sbagliato credere che la complessità biologica possa scaturire dalla semplicità dopo tutto?

 

Una delle ragioni è contenuta implicitamente nel fatto che abbiamo notato all'inizio circa la loro scoperta e che si può sinteticamente esprimere come segue: i frattali (o più generalmente ogni geometria complessa scaturente da formule) richiede della programmazione su computer. Per spiegare questo concetto nel modo più semplice ritorniamo al facile esempio del cerchio e della sua equazione in geometria analitica. L'equazione simbolica x^2 + y^2 = 1 di per se non visualizza niente, non un singolo punto nello spazio. L'equazione da sola è completamente incapace di generare la figura del cerchio e guardandola a prima vista non si direbbe neanche che può generare un cerchio. Per ottenere il disegno del cerchio abbiamo bisogno di due ulteriori importanti cose: (1) uno spazio, per la precisione una superficie, con una definizione di distanza (in questo caso euclidea) e un sistema di assi cartesiani x-y sovrapposto ad essa; (2) un algoritmo specifico per calcolare le coordinate e disegnare il cerchio sul piano cartesiano.

 

L'algoritmo deve fare questo lavoro: (a) partire da un dato valore x0; (b) calcolare il relativo valore y0 dall'equazione; (c) disegnare il punto (x0,y0) nel piano; (d) incrementare x0 di un valore z opportuno per ottenere un nuovo valore x1; (e) andare di nuovo al passo (b) per calcolare y1. Questa sequenza deve essere ripetuta un grande numero di volte. Quando un numero sufficiente di punti sono calcolati bisogna connetterli tra loro. Questo è esattamente quanto uno studente fa in generale quando il suo insegnante di matematica gli chiede di generare il grafico di una qualsivoglia funzione data la sua equazione e anche quello che fa un computer quando deve fare la stessa cosa.

 

Anche i frattali, che sono più complessi del cerchio, devono essere generati a partire dalle loro formule per mezzo di processi iterattivi implementati grazie alla tecnologia della cosiddetta "computer graphics". Per generare un disegno frattale la sua formula non basta, un computer e un software sono necessari per mappare tutta la sua indefinita variabilità nello spazio bidimensionale o tridimensionale. I matematici usano la programmazione per effettuare questo passaggio dalla sintesi (la formula) all'analisi (la forma). In pratica la formula è solo una delle istruzioni di un programma di molte istruzioni che sono iterate molte volte, ogni volta con differenti valori di input.

 

La nostra formula algebrica x^2 + y^2 = 1 è capace di sintetizzare simbolicamente tutto l'infinito insieme di coppie (x, y) corrispondenti ai punti di un cerchio. Questo insieme ha una bassa complessità algoritmica (o "complessità di Kolmogorov") perché l'algoritmo capace di generarlo è molto più corto dell'insieme stesso. Per questo fatto si dice anche che questo insieme è "comprimibile". Quindi l'abilità di sintetizzare infiniti valori non è peculiare ai frattali soltanto ma è intrinseca a molte formule matematiche contenenti variabili simboliche (x, y, z, ...). Certo i frattali, date le loro complesse figure, sono esempi spettacolari di questa caratteristica ma anche i frattali hanno una complessità di Kolmogorov bassa, perché in pratica sono generati da algoritmi - come per esempio, la formula relativa al famoso insieme di Mandelbrot z => z^2 + c dove z è una variabile complessa e c una costante complessa (come noto un "numero complesso" è espresso come (a + ib) dove i è la radice quadrata di -1).

 

Alcuni potrebbero fare questo ragionamento: se i sistemi biologici codificano l'informazione della loro complessità organizzativa per mezzo di formule (di frattali o altre specie di strutture matematiche) la loro complessità è solo apparente. Questa conclusione non è corretta per le seguenti ragioni. A parte il fatto che certo non tutta la CSI biologica è codificata in questo modo, se è vero che le formule generanti frattali possono essere semplici e la complessità di Kolmogorov dei loro sviluppi bassa, è anche vero che - in generale - proprio usare tali formule (invece che qualche altro sistema meno efficiente) per ottenere un risultato ottimizzato di per se è un segno di intelligenza. In matematica (e anche in fisica) la ricerca delle formule capaci di esprimere simbolicamente la soluzione di un problema è, in generale, un compito difficile, la cui risolvibilità non è nient'affatto gratuita e garantita in tutti i casi. I matematici specializzati in questo genere di difficili problemi sono chiamati "algoristi". Inoltre, ammesso e non concesso che abbiamo trovato la formula, dobbiamo ancora svilupparne tutta la sua potenzialità calcolando tutti i necessari valori. In termini aristotelici, il passaggio "dalla potenza all'atto" ha ancora da essere effettuato e proprio questo passaggio mostra che anche questa complessità non è gratis. Infatti allo scopo è necessario sviluppare un programma. Per far girare tale programma dobbiamo progettare un computer minimo o comunque un processore di istruzioni. Per concludere, se pensiamo al sistema nella sua interezza (formula + programma + computer) siamo condotti ad uno scenario complessivo nient'affatto semplice. Ciò che è importante da capire è che anche in biologia frattale non si scappa da uno scenario simile, il quale va implementato con tutte le enormi complicazioni fisico/chimiche addizionali tipiche della biologia. Per cui in questi scenari il disegno intelligente è innegabile, in quanto tutte e tre le loro componenti implicano intelligenza.

 

Per tutte queste ragioni l'esistenza nei sistemi biologici di informazione compressa, cioè codificata in modo apparentemente semplice, sia esso un modo frattale o altrimenti, non può essere usata per negare il disegno intelligente o giustificare spiegazioni riduttive a base di "auto-organizzazione" o "creazione di informazione dal nulla" come quelle tipiche dell'evoluzionismo. Inoltre i frattali spiegano solo alcuni aspetti di certi sistemi biologici, tipicamente la loro forma geometrica esterna. Un mucchio di altre cose non sono spiegate così, per esempio, il loro funzionamento interno e i loro processi biochimici (implicanti del sofisticato "information processing") normalmente non si possono spiegare con formule matematiche e rappresentano comunque la maggior parte dell'informazione funzionale complessiva dei sistemi biologici.

 

Di norma l'informazione funzionale non può essere ottenuta da formule. Se è vero che delle formule spiegano alcune cose in biologia è anche più vero che solo l'intelligenza può inventare le formule e le loro applicazioni (forme incluse). In questo modo la giusta relazione causale nella quale il meno deriva sempre dal più è salvaguardata (l'intelligenza crea le formule, i programmi e i computer che a loro volta creano le forme). Pensare diversamente vuol dire mettere il carro davanti ai buoi e pensare erroneamente che il più possa derivare dal meno.